研究成果

苏科版九下《6.3二次函数与一元二次方程》教学探究

发布日期:2014-12-04 00:00:00   作者:   来源:   阅读:

苏科版九下《6.3二次函数与一元二次方程》教学探究

苏州市胥江实验中学校田庆国

 

我们知道:二次函数是初中数学最后一次探究函数的内容,方法也和前面教学相同:先列表、描点、连线,完成画图,再根据图象去探究函数的性质。本部分中运用了各种数学思想方法,有函数思想、转化思想、方程思想、类比思想、分类讨论思想、数形结合思想等,这些都是初中数学中对学生所要培养的重要思想、也是数学中考的重要内容,尤其常常作为中考的压轴题。

首先看看教材的处理:在“思考与探索”环节时,问“二次函数y=x2 -2x-3与一元二次方程x2 -2x-3=0有怎样的关系?”

然后教材采取引导学生观察二次函数y=x2 -2x-3的图象与x轴有两个交点,交点M(3,0)N-1,0)。

最后,由此可知交点的横坐标与一元二次方程x2 -2x-3=0的根有何关系,进而总结得出一元二次方程ax2 +bx+c=0,当△=b2-4ac时该方程的实数根与对应的二次函数y=ax2 +bx+c的关系。内容安排看似简单,实际却内涵丰富,需要教师大力挖掘,方能使学生充分掌握知识,并从中深切体会到其中数学思想与方法的运用。

教师在教学的过程中,怎样才能使学生更好的学好知识领会思想呢?

一、梳理一元二次方程与二次函数的知识点,抓本质

根据一元二次方程的性质:使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程根,使一元二次不等式成立的未知数的所有的值是一元二次不等式的解集;利用根的判别式可判断出一元二次方程根的情况,当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,当△=b2-4ac =0时,方程有两个相等的实数根, 当△=b2-4ac <0时,方程没有实数根;抛物线与x轴有三种位置关系,即整个抛物线与x轴没有交点,与x轴有一个交点,与x轴有两个交点;抛物线位于x轴上方对应的函数值大于0,抛物线位于x轴下方对应的函数值小于0,抛物线与x轴相交意味着函数值等于0。教学中对这些知识点需要做适当的复习,只有这些基本知识学生理解透了,才容易把握二者的关系。

二、寻找二次函数与一元二次方程的关联,破难点

类比一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解,那么抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解,由于抛物线与x轴可能会有两个交点、一个交点或没有交点,那么对应一元二次方程相应的就有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或者没有解;类比一次函数位于x轴上方则对应的一元一次不等式大于0,自变量的取值范围就是对应的一元一次不等式的解集,那么抛物线位于x轴上方对应的一元二次不等式大于0,自变量的取值范围就是对应的一元二次不等式的解集,其余类推。类比用一次函数图象求解一元一次方程的近似解理解用二次函数图象求解一元二次方程的近似解,等等。

三、运用合理的数学思想方法,勤总结

教师通过对函数学习中常用的思想方法的总结回顾,培养学生有意识的自觉地运用,能使教学收到事半功倍的效果。在函数学习中经常会运用到如下思想方法:

(1)分类讨论思想:如对一次函数y=kx+ bkb的讨论判断直线所经过的象限,二次函数中对a的正负性的讨论,判断抛物线的开口方向及与对称轴结合判断函数增减性等,可以说分类讨论思想贯穿在整个的函数学习中。在教学中可以y=ax2 +bx+c(a>0)为例,以表格形式展示:

让学生在独立思考后讨论的基础上完成上述表格并思考:当二次函数(a<0)时,是否也有类似的结论呢?

(2)数形结合方法:利用图形的形象直观解题是一种方法,也是函数学习中的一大特色。对图形的阅读理解是学生必须具备的一项技能,在教学中教师通过对学生画函数示意图的训练,使学生形成自觉运用图形解题的习惯,这对本节知识的教学将大有裨益。在教学中,我采用如下方式:

先给出几个典型实例如:

①方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3

②方程x2-2x+ 1=0与函数y= x2-2x+ 1

③方程x2+2x- 3=0与函数y= x2+2x- 3

再让学生分别观察每个图象与x轴各有几个交点,通过解方程验证一元二次方程x2-2x-3=0x2-2x+ 1=0x2+2x- 3 =0是否有实数根?若有?有几个根?通过学生对函数图象的观察和对方程的求解得出一元二次方程与对应的二次函数之间有何关系。

(3)类比思想:类比思想不仅在函数教学中会使用到,在其他知识的教学中也会经常运用到。教师要培养并启发学生善于对所学的新知识从旧知识中寻找类比点,以利于学生更好的理解新知。本节知识的教学实际上正是充分利用与一次函数的类比才得以实现难点突破的。

当然,在实际教学过程中,其他数学思想如函数思想、方程思想及二者的相互转化思想等也都需要教师在平常的教学中带领学生及时总结,领会其实质。

四、体现以学生为主体,给学生充分思考的空间

初中数学新课程标准指出:“学生应学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果”。由于本部分数学知识、技能内容丰富、方法多样,对学生的对知识综合理解运用能力的要求较高,所以在教学中要给学生足够的时间和空间思考交流,通过对自己观点的阐述和对同学观点的聆听、辨析,让知识内化,最终纳入相应的知识体系中。这一过程教师决不能操之过急,应适当的放慢教学节奏。

综上所述,虽然对二次函数与一元二次方程的内容是初中函数知识最难的部分、比较抽象、学生又不太容易理解、掌握,但我相信通过教师采取灵活的教学策略(比如借助几何画板、电子白板的强大功能,变抽象为直观,让学生动手画一画,动脑想一想),激发学生的兴趣、求知欲,及时引导学生进行归纳总结,一定会取得的满意的教学效果。

 

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